Question

（本小題滿分10分）
在圖1至圖3中，直線MN與線段AB相交
于點O，∠1 = ∠2 = 45°．

【小題1】（1）如圖1，若AO = OB，請寫出AO與BD
的數量關系和位置關系；
【小題2】（2）將圖1中的MN繞點O順時針旋轉得到
圖2，其中AO = OB．
求證：AC = BD，AC ⊥ BD；
【小題3】（3）將圖2中的OB拉長為AO的k倍得到
圖3，求的值．

Answer 1

【小題1】（1）AO = BD，AO⊥BD；
【小題2】（2）證明：如圖4，過點B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO = ∠BEO．
又∵AO = OB，∠AOC = ∠BOE，
∴△AOC ≌ △BOE．∴AC = BE．
又∵∠1 = 45°，∴∠ACO = ∠BEO = 135°．
∴∠DEB = 45°．
∵∠2 = 45°，∴BE = BD，∠EBD = 90°．∴AC = BD．延長AC交DB的延長線于F，如圖4．∵BE∥AC，∴∠AFD = 90°．∴AC⊥BD．
【小題3】（3）如圖5，過點B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO = ∠ACO．
又∵∠BOE = ∠AOC，
∴△BOE ∽ △AOC．
∴．
又∵OB = kAO，
由（2）的方法易得BE = BD．∴．

解析