Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=，經過點A（1，3）、B（0，1），過點A作x軸的平行線交拋物線于另一點C．

（1）求拋物線的表達式及其頂點坐標；

（2）如圖，點G是BC上方拋物線上的一個動點，分別過點G作GH⊥BC于點H、作GE⊥x軸于點E，交BC于點F，在點G運動的過程中，△GFH的周長是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=，頂點坐標為：；（2）存在，最大值為：.

【解析】

（1）根據待定系數法求解即可；

（2）先根據題意得出點C的坐標，從而得出直線BC的方程，求出BC的長，再根據△BCI∽△FGH得出，從而，G(m, )，則F(m, )得出，當m=2時，△GFH的周長有最大值．

（1）∵拋物線y=過點A（1，3）、B（0，1），

∴，解得：，

即拋物線的表達式為：y=，

y=

=，

∴頂點坐標為：；

（2）∵A（1，3），由對稱軸可知C（4，3）

由B（0，1）、C（4，3），

得直線BC的解析式為：，BC=，

由題意知，∠ACB=∠FGH，

延長CA與y軸交于點I，則I（0，3）

∴BI=2，CI=4，

由△BCI∽△FGH，得：,

即，

∴，，

即△GFH的周長為：C=FH+GH+FG=，

設G(m, )，則F(m, )，

∴C=

=

=

∴當m=2時，△GFH的周長有最大值，最大值為：.