Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點P在BA的延長線上，PD切⊙O于點C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC
（1）求證：BC平分∠PBD；
（2）求證：PC2=PAPB；
（3）若PA=2，PC=2 ，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵PD切⊙O于點C，

∴OC⊥PD，

∵BD⊥PD，

∴BD∥OC，

∴∠DBC=∠BCO，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OBC=∠CBD，

∴BC平分∠PBD

（2）證明：連接AC，

∵AB是半圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠ABC=90°，

∵∠PCA+∠ACO=90°，

∴∠ACP=∠ABC，

∵∠P=∠P，

∴△ACP∽△CBP，

∴ ，

∴PC2=PAPB

（3）解：∵PC2=PAPB，PA=2，PC=2 ，

∴PB=6，

∴AB=4，

∴OC=2，PO=4，

∴∠POC=60°，

∴S陰影=S△POC﹣S扇形= 2 ×2﹣ =2 ﹣ π．

【解析】（1）連接OC，由PD切⊙O于點C，得到OC⊥PD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DBC=∠BCO，根據(jù)的預(yù)計實現(xiàn)的性質(zhì)得到∠OCB=∠OBC，等量代換得到∠OBC=∠CBD，于是得到即可；（2）連接AC，由AB是半圓O的直徑，得到∠ACB=90°，推出∠ACP=∠ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)果．
【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理和切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑才能正確解答此題．