Question

【題目】如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）．DE∥AB交AC于點F，CE∥AM，連結AE．

（1）如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；

（2）如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．

（3）如圖3，延長BD交AC于點H，若BH⊥AC，且BH=AM．

①求∠CAM的度數；

②當FH=，DM=4時，求DH的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）結論：成立．理由見解析；（3）①30°，②1+．

【解析】

（1）只要證明AB=ED，AB∥ED即可解決問題；（2）成立．如圖2中，過點M作MG∥DE交CE于G．由四邊形DMGE是平行四邊形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB=DE，即可推出四邊形ABDE是平行四邊形；
（3）①如圖3中，取線段HC的中點I，連接MI，只要證明MI=AM，MI⊥AC，即可解決問題；②設DH=x，則AH= x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四邊形ABDE是平行四邊形，推出DF∥AB，推出 ，可得，解方程即可；

（1）證明：如圖1中，

∵DE∥AB，

∴∠EDC=∠ABM，

∵CE∥AM，

∴∠ECD=∠ADB，

∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，

∴BD=DC，

∴△ABD≌△EDC，

∴AB=ED，∵AB∥ED，

∴四邊形ABDE是平行四邊形．

（2）結論：成立．理由如下：

如圖2中，過點M作MG∥DE交CE于G．

∵CE∥AM，

∴四邊形DMGE是平行四邊形，

∴ED=GM，且ED∥GM，

由（1）可知AB=GM，AB∥GM，

∴AB∥DE，AB=DE，

∴四邊形ABDE是平行四邊形．

（3）①如圖3中，取線段HC的中點I，連接MI，

∵BM=MC，

∴MI是△BHC的中位線，

∴MI∥BH，MI=BH，

∵BH⊥AC，且BH=AM．

∴MI=AM，MI⊥AC，

∴∠CAM=30°．

②設DH=x，則AH=x，AD=2x，

∴AM=4+2x，

∴BH=4+2x，

∵四邊形ABDE是平行四邊形，

∴DF∥AB，

∴，

∴，

解得x=1+或1﹣（舍棄），

∴DH=1+．