Question

【題目】已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90，對角線AC、BD相交于點E，且AC⊥BD．

（1）求證：；

（2）點F是邊BC上一點，聯結AF，與BD相交于點G．如果∠BAF =∠DBF，求證：．

Answer 1

【答案】（1）參見解析；（2）參見解析．

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件和同角的余角相等得出∠ACD=∠CBD．再根據∠ADC=∠BCD=90．因為兩角對應相等，兩個三角形相似，所以△ACD∽△DBC．相似三角形對應邊成比例，所以，從而得出結論；（2）利用平行線的性質和等量代換得出∠ADB=∠BAF．從而判定△ABG∽△DBA．得出，即，又因為，得出，代入前面的式子中即可得出結論．

試題解析：（1）∵AD//BC，∠BCD=90，∴∠ADC=∠BCD=90．又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90．∴∠ACD=∠CBD．∴△ACD∽△DBC．∴，即；（2）∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBF．∵∠BAF=∠DBF，∴∠ADB=∠BAF．∵∠ABG=∠DBA，∴△ABG∽△DBA．∴．兩邊同時平方得：．又由于△ABG∽△DBA，∴．

∴．∴．