Question

【題目】已知：如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于AB兩點，與y軸相交于點C，若A（﹣1，0），且OC＝3OA．

（1）填空：b＝　 　，c＝　 　；

（2）在圖1中，若點M為拋物線上第四象限內一動點，順次連接AC，CM，MB，求四邊形ACMB面積的最大值；

（3）在圖2中，將直線BC沿x軸翻折交y軸于點N，過點B的直線與拋物線相交于點D．若∠NBD＝∠OCA，請直接寫出點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）﹣2，﹣3；（2）；（3）點D的坐標為（﹣，）或（﹣3，12）．

【解析】

（1）由A（1，0）與OC＝3OA求點C坐標，把點A、C代入用待定系數法求拋物線解析式，即求得b、c的值．

（2）連接BC，把四邊形ACMB分成△ABC與△BCM．求點B坐標，進而求△ABC面積和直線BC解析式．設點M橫坐標為m，過點M作MF⊥x軸于點F，交BC于點E，用m表示EM的長．把△BCM分成△BEM與△CEM求面積和，得到關于m的二次函數關系式，配方即得到△BCM面積最大值，進而求得四邊形ACMB面積的最大值．

（3）由OC＝3OA求得tan∠OCA的值，求點N坐標和BN的長．過點N作GN⊥BN，根據∠NBD＝∠OCA可得tan∠NBD＝，即求得NG的長，進而用勾股定理求得BN的長．設點G坐標為（s，t），用s、t表示NG2，BG2的值，即列得關于s、t的方程組，求解得兩個滿足條件的點G．求直線BG解析式，與拋物線解析式聯立方程組即求得點D坐標．

解：（1）∵A（﹣1，0）

∴OA＝1

∴OC＝3OA＝3

∴C（0，﹣3）

∵拋物線y＝x2+bx+c經過點A、C

∴ 解得：

故答案為：﹣2，﹣3．

（2）如圖1，連接BC，過點M作MF⊥x軸于點F，交BC于點E

∵拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3

∴當x2﹣2x﹣3＝0時，解得：x1＝﹣1，x2＝3

∴B（3，0），AB＝3﹣（﹣1）＝4

∴S△ABC＝ABOC＝×4×3＝6

設直線BC解析式為：y＝kx﹣3

把點B代入得：3k﹣3＝0，解得：k＝1

∴直線BC：y＝x﹣3

∵點M為拋物線上第四象限內的點

∴設點M坐標為（m，m2﹣2m﹣3）（0＜m＜3）

∴E（m，m﹣3）

∴EM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+

∴S△BCM＝S△BEM+S△CEM

＝EMBF+EMOF

＝EM（BF+OF）

＝EMOB

＝[﹣（m﹣）2+]

＝﹣（m﹣）2+

∴S四邊形ACMB＝S△ABC+S△BCM＝6﹣（m﹣）2+＝﹣（m﹣）2+

∴四邊形ACMB面積的最大值為．

（3）過點N作NG⊥BN，交直線BD于點G

∴∠BNG＝∠AOC＝90°

∵OC＝3OA

∴Rt△AOC中，tan∠OCA＝

∵∠NBD＝∠OCA

∴tan∠NBD＝tan∠OCA＝

∴Rt△BNG中，tan∠NBD＝

∵B（3，0），C（0，﹣3），將直線BC沿x軸翻折交y軸于點N

∴N（0，3）

∴BN＝

∴NG＝BN＝

∴BG＝

設點G坐標為（s，t）

∴NG2＝s2+（t﹣3）2，BG2＝（3﹣s）2+t2

∴解得：,

∴點G坐標為（﹣1，2）或（1，4）

①G（﹣1，2），設直線BG解析式為y＝ax+g

∴ 解得：

∴直線BG：y＝﹣x+

∵ 解得：,（即點B）

∴D（﹣，）

②G（1，4），設設直線BG解析式為y＝px+q

∴ 解得：

∴直線BG：y＝-2x+6

∵ 解得：,（即點B）

∴D （﹣3，12）

綜上所述，若∠NBD＝∠OCA/span>，點D的坐標為（﹣，）或（﹣3，12）．