Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分線交AB，AC于點D，E．

（1）求證：AE＝2CE；

（2）當DE＝1時，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接BE，由在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，可求得∠ABC的度數，又由AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，根據線段垂直平分線的性質，可得AE=BE，繼而可求得∠CBE的度數，然后由含30°角的直角三角形的性質，證得AE=2CE．
（2）連接EB，根據線段垂直平分線的性質得到EA=EB，求出∠EBC=30°，根據直角三角形的性質求出BE，根據勾股定理求出BC、AC，根據三角形的面積公式計算，得到答案．

（1）連接BE．

∵DE是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=30°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
在Rt△BCE中，BE=2CE，
∴AE=2CE；
（2）連接BE．

∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵DE是AB邊的垂直平分線，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴∠EBC=30°，
∴EB=2ED=2，EC=BE=1，BC==，

∴EA=EB=2，AC=EC+EA=3，
∴△ABC的面積=×BC×AC=××3=．