Question

【題目】如圖，點D在△ABC的邊AB上，點E為AC的中點，過點C作CF∥AB交DE的延長線于點F，連接AF．
（1）求證：CD=AF；
（2）若∠AED=2∠ECD，求證：四邊形ADCF是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CF∥AB，

∴∠EFC=∠ADE，

則在△AED和△CFE中，

，

∴△AED≌△CFE，

∴DE=FE，

又∵AE=CE，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∴CD=AF

（2）證明：∵∠AED=2∠ECD，∠AED=∠ECD+∠EDC，

∴∠EDC=∠ECD，

∴DE=EC，

又∵DE=FE，AE=CE，

∴AC=DF，

∴平行四邊形ADCF是矩形．

【解析】（1）首先證明△AED≌△CFE，即可證得四邊形ADCF的對角線互相平分，依據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證得；（2）利用三角形的外角的性質即可證得∠EDC=∠ECD，則根據等角對等邊即可證得DE=EC，從而證明平行四邊形ADCF的對角線相等，即可證得．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質和矩形的判定方法的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形才能正確解答此題．