Question

【題目】已知△ABC與△ABD不全等，且AC=AD=1，∠ABD=∠ABC=45°，∠ACB=60°，則CD=　 　．

Answer 1

【答案】1或．

【解析】分析：

由題意可知本題存在兩種可能情況：（1）如圖1，C、D兩點在線段AB的同側，此時由已知條件易證△ACD是等邊三角形，由此即可求得CD的長；（2）如圖2，C、D兩點在線段AB的兩側，此時由已知條件可知將△ABD沿AB翻折，點D的對應點D′剛好落在BC邊上，連接CD，由已知條件可證得∠CAD=90°，從而可在Rt△ACD中由勾股定理求得CD的長.

詳解：

（1）如圖1，當C、D在AB同側時，

∵AC=AD=1，∠C=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴CD=AC=1；

（2）如圖2，當C、D在AB兩側時，

∵∠ABC=∠ABD=45°，

∴把△ABD沿AB翻折得到△ABD′時，點D′在BC邊上，

由（1）可知，此時△ACD′是等邊三角形，

∴∠AD′C=60°，

∴∠AD′B=120°，

∴∠ADB=120°，

又∵在四邊形ADBC中，∠ACB=60°，∠DBC=∠ABC+∠ABD=90°，

∴∠CAD=360°-60°-120°-90°=90°，

∴在Rt△ACD中，CD=.

綜上所述可得CD的長為1或．

故答案為：1或．