Question

【題目】如圖（1），矩形的一邊在直角坐標系中軸上，折疊邊，使點落在軸上點處，折痕為，已知，，并設點坐標為，其中．

（1）求點、的坐標（用含的式子表示）；

（2）連接，若是等腰三角形，求的值；

（3）如圖（2），設拋物線經過A、E兩點，其頂點為，連接AM，若，求、、的值．

Answer 1

【答案】（1）點、的坐標是；（2）m的值是6，4，；（3）a、h、m的值是，－1，12．

【解析】

（1）根據四邊形ABCD是矩形以及由折疊對稱性得出AF=AD=10，EF=DE，進而求出BF的長，即可得出E，F點的坐標；
（2）分三種情況討論：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用勾股定理求出即可；
（3）由E（m+10，3），A（m，8），代入二次函數解析式得出M點的坐標，再利用△AOB∽△AMG，求出m的值即可．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=CB=10，AB=DC=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，
由折疊對稱性：AF=AD=10，EF=DE，
在Rt△ABF中，BF==6，
∴CF=4，
設EF=x，則EC=8-x，
在Rt△ECF中，42+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴CE=3，
∵B（m，0），
∴E（m+10，3），F（m+6，0）；

（2）分三種情況討論：
若AO=AF，
∵AB⊥OF，
∴BO=BF=6，
∴m=6，
若OF=FA，則m+6=10，
解得：m=4，
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，
∴（m+6）2=m2+64，
解得：m=，
∴m=6或4或；
（3）由（1）知：E（m+10，3），A（m，8）．
∴ ，
得，
∴M（m+6，-1），
設對稱軸交AD于G，
∴G（m+6，8），
∴AG=6，GM=8-（-1）=9，
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG，
∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG，
∴ ，
即： ，
∴m=12．