Question

【題目】如圖：已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P點在AC上（與A、C不重合），Q在BC上．

（1）當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；

（2）當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長；

（3）試問：在AB上是否存在一點M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出PQ的長．

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，和.

【解析】

（1）由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，△CPQ與△CAB的面積比為1：2，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出CP的長；

（2）由于△PQC∽△ABC，根據相似三角形的性質，可用CP表示出PQ和CQ的長，進而可表示出AP、BQ的長．根據△CPQ和四邊形ABQP的周長相等，可將相關的各邊相加，即可求出CP的長；

（3）因為不能確定哪個角是直角，故應分類討論．

①當∠MPQ＝90°，且PM＝PQ時．因為△CPQ∽△CAB，根據相似三角形邊長的比等于高的比，可求出PQ的值；

②∠PQM＝90°時與①相同；

③當∠PMQ＝90°，且PM＝MQ時，過M作ME⊥PQ，則ME＝PQ，根據相似三角形邊長的比等于高的比，可求出PQ的值．

（1）∵PQ∥AB，

∴△PQC∽△ABC，

∵S△PQC＝S四邊形PABQ，

∴S△PQC：S△ABC＝1：2，

∴，

∴CP＝CA＝2；

（2）∵△PQC∽△ABC，

∴，

∴，

∴CQ＝CP，

同理：PQ＝CP，

∴l△PCQ＝CP+PQ+CQ＝CP+CP+CP＝3CP，

I四邊形PABQ＝PA+AB+BQ+PQ，

＝4﹣CP+AB+3﹣CQ+PQ，

＝4﹣CP+5+3﹣CP+CP，

＝12﹣CP，

∴12﹣CP＝3CP，

∴CP＝12，

∴CP＝；

（3）∵AC＝4，AB＝5，BC＝3，

∴△ABC中AB邊上的高為，

①當∠MPQ＝90°，且PM＝PQ時，

∵△CPQ∽△CAB，

∴，

∴，

∴PQ＝；

②當∠PQM＝90°時與①相同；

③當∠PMQ＝90°，且PM＝MQ時，

過M作ME⊥PQ，則ME＝PQ，

∴△CPQ的高為﹣ME＝﹣PQ，

∴，

∴，

∴PQ＝．

綜合①②③可知：點M存在，PQ的長為或．