Question

【題目】以四邊形ABCD的邊AB，AD為邊分別向外側作等邊△ABF和等邊△ADE，連接EB，FD，交點為G.

(1)當四邊形ABCD為正方形時(如圖1)，EB和FD的數量關系是 ；

(2)當四邊形ABCD為矩形時(如圖2)，EB和FD具有怎樣的數量關系？請加以證明；

(3)四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，∠EGD是否發生變化？如果改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）EB=FD；（2）EB=FD，證明見解析；（3）∠EGD不發生變化．

【解析】

（1）利用正方形的性質、等邊三角形的性質和全等三角形的證明方法可證明△FAD≌△BAE，由全等三角形的性質即可得到EB= FD；

（2）利用長方形的性質、等邊三角形的性質和全等三角形的證明方法可證明△FAD≌△BAE，由全等三角形的性質即可得到EB= FD；

（3）四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，∠EGD不會發生變化，是一個定值，為60°．

解：（1）EB＝FD，

理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB＝AD，

∵以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側作等邊三角形ABF和ADE，

∴AF＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°，

∵∠FAD＝∠BAD+∠FAB＝90°+60°＝150°，

∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝90°+60°＝150°，

∴∠FAD＝∠BAE，

在△AFD和△ABE中，

，

∴△AFD≌△ABE，

∴EB＝FD；

（2）EB＝FD．

證：∵△AFB為等邊三角形

∴AF＝AB，∠FAB＝60°

∵△ADE為等邊三角形，

∴AD＝AE，∠EAD＝60°

∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，

即∠FAD＝∠BAE

∴△FAD≌△BAE

∴EB＝FD；

（3）解：不會發生改變；

同（2）易證：△FAD≌△BAE，

∴∠AEB＝∠ADF，

設∠AEB為x°，則∠ADF也為x°

于是有∠BED為（60﹣x）°，∠EDF為（60+x）°，

∴∠EGD＝180°﹣∠BED﹣∠EDF

＝180°﹣（60﹣x）°﹣（60+x）°

＝60°．