Question

【題目】已知：拋物線 的頂點為A，與x軸的交點為B，C（點B在點C的左側）.

(1)直接寫出拋物線對稱軸方程；

（2）若拋物線經過原點，且△ABC為直角三角形，求a，b的值；

（3）若D為拋物線對稱軸上一點，則以A，B，C，D為頂點的四邊形能否為正方形？若能，請寫出a，b滿足的關系式；若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線對稱軸方程：.（2），或，.（3）.

【解析】

（1）根據y=a（x-2）2+b直接得出答案；

（2）根據直線x=2與x軸交于點E，則E（2，0），以及拋物線經過原點，得出B（0，0），C（4，0），進而求出AE=BE=EC，當拋物線的頂點為A（2，-2）時，以及當拋物線的頂點為A′（2，2）時求出即可；

（3）根據B、C關于點E中心對稱，當A，D也關于點E對稱，且BE=AE時，四邊形ABDC是正方形，即可求出．

（1）拋物線對稱軸方程：直線x=2．

（2）如圖，

設直線x=2與x軸交于點E，則E（2，0）．

∵拋物線經過原點，

∴B（0，0），C（4，0）．（3分）

∵△ABC為直角三角形，根據拋物線的對稱性可知AB=AC，

∴AE=BE=EC，

∴A（2，-2）或（2，2）．

當拋物線的頂點為A（2，-2）時，y=a（x-2）2-2，

把（0，0）代入，得：a＝，

此時，b=-2．

當拋物線的頂點為A′（2，2）時，y=a（x-2）2+2，

把（0，0）代入，得：a＝，此時，b=2．

∴a＝，b=-2或a＝，b=2．

（3）依題意，B、C關于點E中心對稱，當A，D也關于點E對稱，且BE=AE時，四邊形ABDC是正方形．

∵A（2，b），

∴AE=|b|，

∴B（2-|b|，0），

把B（2-|b|，0）代入y=a（x-2）2+b，得ab2+b=0，

∵b≠0，

∴abb+b=0，

∴b=-ab2，即=-1，-ab=1，

∴ab=-1．