Question

【題目】如圖，公路AB為東西走向，在點A北偏東36.5°方向上，距離5千米處是村莊M；在點A北偏東53.5°方向上，距離10百米處是村莊N（參考數據；sin36.5°=0.6，cos36.5°=0.8，tan36.5°=0.75，sin23.6°=0.4，cos66.4°=0.4，tan21.8°=0.4）．

（1）求M，N兩村之間的距離；

（2）試問村莊N在村莊M的什么方向上？（精確到0.1度）

Answer 1

【答案】（1）km；（2）北偏東68.2°方向上．

【解析】

試題分析：（1）建立直角三角形，過點M作CD∥AB，NE⊥AB，在Rt△ACM中求出CM，AC，在Rt△ANE中求出NE，AE，繼而得出MD，ND的長度，在Rt△MND中利用勾股定理可得出MN的長度；（2）求出∠NMD的互余角是解題的關鍵，在Rt△MND中，根據tan∠NMD===0.4km，再根據tan21.8°=0.4，得出∠NMD=21.8°，再根據∠MND=90°﹣∠NMD，即可得出村莊N在村莊M的北偏東68.2°方向上．

試題解析：（1）如圖：過點M作CD∥AB，NE⊥AB：

，在Rt△ACM中，∠CAM=36.5°，AM=5km，∵sin36.5°==0.6，∴CM=3，AC==4km，在Rt△ANE中，∠NAE=90°﹣53.5°=36.5°，AN=10km，∵sin36.5°==0.6，∴NE=6，AE==8km，∴MD=CD﹣CM=AE﹣CM=8-3=5km，ND=NE﹣DE=NE﹣AC=6-4=2km，在Rt△MND中，MN==（km）；（2）在Rt△MND中，tan∠NMD===0.4（km），∴∠NMD=21.8°，∴∠NMD的互余角=∠MND=90°﹣21.8°=68.2°，∴村莊N在村莊M的北偏東68.2°方向上．