Question

【題目】圖①是一個三角形，分別連接這個三角形三邊的中點得到圖②，再分別連接圖②中間小三角形三邊的中點，得到圖③.

(1)圖②有______個三角形；圖③有______個三角形；

(2)按上面的方法繼續下去，第n個圖形中有_________個三角形(用n的代數式表示).

(3)是否存在正整數n，使得第n個圖形中存在2019個三角形?如果存在，請求出n的值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）5，9；（2）4n﹣3；（3）不存在，理由見解析

【解析】

（1）根據圖形的變化可發現每個圖形比前一個圖形多4個三角形，結合圖①有一個三角形即可得出結論；（2）根據圖形的變化可發現每個圖形比前一個圖形多4個三角形，而圖形①只有一個三角形，用含n的代數式表示出結論即可；（3）結合（2）的結論，令三角形的個數等于2019，看n的值是否為整數，是的話則第n個圖形就是所求，如果不是，則不存在．

解：（1）圖②中有5個三角形，圖③中有9個三角形．

故答案為：5，9；

（2）依題意得：n＝1時，有1個三角形；

n＝2時，有5個三角形；

n＝3時，有9個三角形；

∴當n＝n時，有（4n﹣3）個三角形．

故答案為：4n﹣3；

（3）不存在

假設存在正整數n，

使得第n個圖形中有2019個三角形，

根據題意得：4n﹣3＝2019，

解得：n＝，不是整數，

故不存在正整數n，使得第n個圖形中有2019個三角形