Question

【題目】定義：如果過三角形一個頂點的直線與對邊所在直線相交，得到的三角形中有一個與原三角形相似，那么我們稱這樣的直線為三角形的相似線．

如圖1，△ABC中，直線CD與AB交于點D，若△ACD∽△ABC，則稱直線CD是△ABC的相似線．

解決問題：

已知：如圖2，在△ABC中，∠BAC＞∠ACB ＞∠ABC．

求作：△ABC的相似線．

（1）小明用如下方法作出△ABC的一條相似線：

作法：如圖3，①作△ABC的外接圓⊙O；

②以C為圓心，AC的長為半徑畫弧，與⊙O交于點P；

③連接AP，交BC于點D．

則直線AD為△ABC的相似線．

請你證明小明的作法的正確性．

（2）過A點還有其它的△ABC的相似線，請你參考（1）中的作法與結論，利用尺規作圖，在圖3中再作出一條△ABC的相似線AE；（寫出作法，保留作圖痕跡，不要證明）

（3）若△ABC中，∠BAC=90°，則△ABC中過A點的相似線有 條，過B點的相似線有 條．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）1條，3條．

【解析】(1)連接CP，根據條件得出△ABC∽△DAC，即可求解；（2）截取BQ=BA，再作直線AQ，即可；（3）根據相似三角形的判定方法分別利用平行線及垂直平分線的性質得出對應角相等即可.

（1）連接CP，由作圖可得AC=PC，則=

∴∠EAC=∠B

∵∠C是公共角

∴△ABC∽△DAC

∴直線AD為△ABC的相似線．

（2）如圖，截取BQ=BA，交⊙O于點Q；

作直線AQ，交BC于點E．

則直線AE為所求作的相似線．

畫圖正確

（3）1條，3條