Question

【題目】正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，作∠CBD的角平分線BE，分別交CD，OC于點E，F．

（1）依據題意，補全圖形（用尺規作圖，保留作圖痕跡）；

（2）求證：CE=CF；

（3）求證：DE=2OF．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）按照“用直尺和圓規作角的平分線的一般步驟作圖”即可；

（2）由已知條件易得∠BOF=∠BCE=90°，∠CFE=∠BFO，∠BFO+∠OBF=90°，∠CEF+∠CBE=90°，再結合由BE平分∠CBD所得的∠DBE=∠CBE即可得到∠CFE=∠CEF，由此可得CE=CF；

（3）如圖1，取BE的中點M，連接OM．結合已知條件易得OM是△BDE的中位線，從而可得DE=2OM，OM∥DE，結合（2）中所得CE=CF可得∠AMF=∠CEF=∠CFE=∠OFM，由此可得OF=OM，則可得得到DE=2OF.

（1）如下圖，射線BE為所求角平分線：

（2）∵BE平分∠CBD，

∴∠CBE=∠DBE．

∵正方形ABCD的對角線AC，BD交于點O，

∴∠BOC=∠BCD=90°．

∵∠CBE+∠CEB=90°，∠DBE+∠BFO=90°，

∴∠CEB=∠BFO．

∵∠EFC=∠BFO，

∴∠EFC=∠CEB．

∴CF=CE．

（3）取BE的中點M，連接OM．

∵O為AC的中點，

∴OM∥DE， DE=2OM．

∴∠OMF=∠CEF．

∵∠OFM=∠EFC=∠CEF，

∴∠OMF=∠OFM．

∴OF=OM．

∴DE=2OF．