Question

【題目】如圖，在ABCD中，按下列步驟作圖：

①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)M．交BC于點(diǎn)N；

②再分別以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G；

③作射線BG交AD于F；

④過點(diǎn)A作AE⊥BF交BF于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)E；

⑤連接EF，PD．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求DP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）作PH⊥AD于H，根據(jù)四邊形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，從而得到PH，DH＝5，然后利用勾股定理求解即可．

解：（1）證明：由作圖知BA＝BE，∠ABF＝∠EBF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠EBF＝∠AFB，

∴∠ABF＝∠AFB，

∴AB＝AF＝BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

又AB＝BE，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）解：作PH⊥AD于H，

∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，

∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，

∴APAB＝2，

∴PH，DH＝5，

∴DP2．