Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB＝6，C為圓周上的一點，BC＝3．過C點作⊙O的切線GE，作AD⊥GE于點D，交⊙O于點F．

（1）求證：∠ACG＝∠B．

（2）計算線段AF的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3．

【解析】

（1）連接OC，BF．根據切線的性質得到OC⊥GE，即∠ACG+∠OCA＝90°，再根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB＝90°，則∠B+∠CAB＝90°，而∠BAC＝∠OCA，得到∠B＝∠ACG．

（2）Rt△ACB中，AB＝6，BC＝3，得到∠CAB＝30°，而∠B＝∠ACG＝60°，AD⊥GE，則∠CAD＝30°，則∠DAB＝∠CAD+∠CAB＝60°，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠AFB＝90°，所以AF＝AB＝3．

（1）證明：連接OC，BF．

∵GE是過點C的⊙O的切線，

∴OC⊥GE，即∠ACG+∠OCA＝90°．

∵AB是⊙O的直徑，AO＝OC，

∴∠ACB＝90°，∠BAC＝∠OCA．

∵∠B+∠CAB＝90°，

∴∠B＝∠ACG；

（2）解：∵Rt△ACB中，AB＝6，BC＝3，

∴∠CAB＝30°．

∵∠B＝∠ACG＝60°，AD⊥GE，

∴∠CAD＝30°．

∴∠DAB＝∠CAD+∠CAB＝60°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB＝90°，

∵AB＝6，

∴AF＝AB＝3．