Question

【題目】長方形ABCD中，AB=6，AD=8，點E為邊AD上一點，將△ABE沿BE折疊后得到△BEF．

（1）如圖1，若點E為AD的中點，延長BF交邊CD于點G．

①求證：DG=FG．

②求FG的長度．

（2）如圖2，若點E為邊AD的一動點，連接FD，△DEF能否為直角三角形？若能，求出AE的值．若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；（2）3或6

【解析】

(1) ①連接EG，證明Rt△EGD≌Rt△EGF，即可解決問題；

②設DG=GF=x則GC=6-x，在Rt△BCG中利用勾股定理求解；

（2）需要分類討論：當∠EFD=90°時，B，F，D共線，設AE=EF=x；

當∠FED=90°時，AE=AB=6.

解：（1）①證明：如圖1中，連接EG，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠EDG=90°，

∵EA=EF=ED，∠A=∠EFB=90°，

∴∠EFG=∠EDG=90°，

∵EG=EG，EF=ED，

∴Rt△EGD≌Rt△EGF（HL），

∴GD=GF．

②解：如圖1中，設DG=GF=x則GC=6-x，

在Rt△BCG中，∵=，

∴，

∴x=，

∴GF=．

（2）解：存在．如圖2中，當∠EFD=90°時，B，F，D共線，設AE=EF=x，

在Rt△ABD中，BD=10，

∵BF=BA=6，

∴DF=10-6=4

在Rt△EFD中，∵，

∴，

∴x=3，

∴AE=3．

如圖3中，當∠FED=90°時，AE=AB=6．

綜上所述，滿足條件的AE的值為3或6．