Question

【題目】如圖1，等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF中，∠BCA=∠FDE=90°，AB=4，EF=8．點A、C、D、E在一條直線上，等腰Rt△DEF靜止不動，初始時刻，C與D重合，之后等腰Rt△ABC從C出發，沿射線CE方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，當A點與E點重合時，停止運動．設運動時間為t秒（t≥0）．

（1）直接寫出線段AC、DE的長度；

（2）在等腰Rt△ABC的運動過程中，設等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數關系式和相應的自變量t的取值范圍；

（3）在整個運動過程中，當線段AB與線段EF相交時，設交點為點M，點O為線段CE的中點；是否存在這樣的t，使點E、O、M三點構成的三角形是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AC=4，DE=8，；（2）見解析;（3）見解析.

【解析】

（1）利用運動即可得出結論；

（2）利用面積的和差和特殊圖形的面積公式分三種情況討論計算即可；

（3）找出△MOE是等腰三角形時的位置即可得出結論．

（1）在Rt△ABC中，

AC=BC，AB=4，

∴AC=BC=4，

同理：DE=DF=8；

（2）當0＜t≤4時，如圖1，設AB與BD的交點為G，

由運動知，CD=t，

∴DG=AD=4﹣t，

∴S=（DG+BC）×CD=（4﹣t+4）×t=﹣t2+4t，

當4＜t≤8時，

如圖3，記AB與EF的交點為P，

由運動知，CE=8﹣t，

∴CQ=8﹣t，

∴BQ=4﹣（8﹣t）=t﹣4，

∴S=S△ABC﹣S△PBQ=×4×4﹣（t﹣4）×（t﹣4）=8﹣（t﹣4）2，

當8＜t＜12時，如圖5，

記AB與EF的交點為N'，

由運動知，AC=4﹣（t﹣8）=t﹣4，

∴S=S△AEN'=（t﹣4）×（t﹣4）=（t﹣4）2；

（3）當∠MOE=90°時，如圖6，

即：點C與O重合，

∴t=4，

當∠OME=90°時，如圖7，

點A和O重合，

∴t=8，

即：△MOE是等腰三角形時，t=4或8．