Question

【題目】已知拋物線的解析式y＝ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，點B的坐標為（﹣1，0）拋物線與y軸正半軸交于點C，△ABC面積為6．

（1）如圖1，求此拋物線的解析式；

（2）P為第一象限拋物線上一動點，過P作PG⊥AC，垂足為點G，設點P的橫坐標為t，線段PG的長為d，求d與t之間的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；

（3）如圖2，在（2）的條件下，過點B作CP的平行線交y軸上一點F，連接AF，在BF的延長線上取點E，連接PE，若PE＝AF，∠AFE+∠BEP＝180°，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2），0＜t＜3；（3）P()

【解析】

（1）根據條件易求出A，B兩點的坐標，再利用待定系數法求解即可；

（2）作PD⊥x軸交AC于點E，如圖3，易知∠A＝45°，然后利用三角形的內角和可得：∠P＝∠A，則，再利用待定系數法求出直線AC的解析式，而點P的橫坐標已知，則可用含t的代數式表示出PE，問題即得解決；

（3）如圖4，過點P作PN⊥BE交BE于點N，過點C作CH⊥BE于點H，過點A作AG⊥BE于點G，設BE與AC交于點M，根據AAS可證明△PEN≌△AFG，可得PN＝AG，然后再根據AAS證明△CHM≌△AGM，可得CM＝AM，于是由中點坐標公式可求得點M的坐標，再根據待定系數法可求得直線BM的解析式，進而求出直線CP的解析式，然后解由直線CP和拋物線的解析式組成的方程組即可求出點P的坐標．

解：（1）當x＝0時，y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3，

∵B（﹣1，0），∴OB＝1，∴，解得：AB＝4，

∴OA＝AB﹣OB＝3，∴A（3，0），

將A，B的坐標代入拋物線的解析式y＝ax2+bx+3，得：，解得；，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）作PD⊥x軸交AC于點E，如圖3，

∵OA＝OC=3，∴∠A＝45°，

∵∠PEG＝∠AED，∠PGE＝∠EDA＝90°，∴∠P＝∠A＝45°，

∴，∴，

設直線AC的解析式為：y＝kx+b，把A（3，0），C（0，3）兩點代入，得：，解得：，

∴直線AC為y＝﹣x+3，

設P（t，﹣t2+2t+3），∵PD⊥x軸，∴E（t，﹣t+3），

∴PE＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，∴，

∵P為第一象限拋物線上一動點，∴0＜t＜3；

∴，0＜t＜3；

（3）如圖4，過點P作PN⊥BE交BE于點N，過點C作CH⊥BE于點H，過點A作AG⊥BE于點G，設BE與AC交于點M，

∵∠BEP+∠PEN＝180°，∠AFE+∠BEP＝180°，∴∠PEN＝∠AFG，

∵∠PNE＝∠AGF＝90°，PE＝AF，

∴△PEN≌△AFG（AAS），∴PN＝AG，

∵CP∥BE，∴四邊形CPNH是矩形，∴PN＝CH＝AG，

∵∠CMH＝∠AMG，∠CHM＝∠AGM，

∴△CHM≌△AGM（AAS），∴CM＝AM，∴M（，），

則可得過點B（－1，0）和點M（，）兩點的直線解析式為：y=，

∵CP∥BM，∴直線CP的解析式為y=，

解方程組：，得：，，

∴P（）．