Question

【題目】如圖所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤25）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．

（1）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由；
（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意得：AE=2t，CD=4t，

∵DF⊥BC，

∴∠CFD=90°，

∵∠C=30°，

∴DF= CD= ×4t=2t，

∴AE=DF；

∵DF⊥BC，

∴∠CFD=∠B=90°，

∴DF∥AE，

∴四邊形AEFD是平行四邊形

（2）證明：四邊形AEFD能夠成為菱形，理由是：

由（1）得：AE=DF，

∵∠DFC=∠B=90°，

∴AE∥DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形，

若AEFD為菱形，則AE=AD，

∵AC=100，CD=4t，

∴AD=100﹣4t，

∴2t=100﹣4t，

t= ，

∴當t= 時，四邊形AEFD能夠成為菱形；

（3）證明：分三種情況：

①當∠EDF=90°時，如圖3，

則四邊形DFBE為矩形，

∴DF=BE=2t，

∵AB= AC=50，AE=2t，

∴2t=50﹣2t，

t= ，

②當∠DEF=90°時，如圖4，

∵四邊形AEFD為平行四邊形，

∴EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°，

在Rt△ADE中，∠A=60°，AE=2t，

∴AD=t，

∴AC=AD+CD，

則100=t+4t，

t=20，

③當∠DFE=90°不成立；

綜上所述：當t為 或20時，△DEF為直角三角形

【解析】（1）根據時間和速度表示出AE和CD的長，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出DF的長為4t，則AE=DF，再證明，AE∥DF即可解決問題．（2）根據（1）的結論可以證明四邊形AEFD為平行四邊形，如果四邊形AEFD能夠成為菱形，則必有鄰邊相等，則AE=AD，列方程求出即可；（3）當△DEF為直角三角形時，有三種情況：①當∠EDF=90°時，如圖3，②當∠DEF=90°時，如圖4，③當∠DFE=90°不成立；分別找一等量關系列方程可以求出t的值．