Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC于點D，E為AC的中點，BE交⊙O于點F．

（1）求證：DE是⊙O的切線．

（2）①當∠B=______時，四邊形AODE是正方形；

②在①的條件下，若OA=2，線段BF的長為______．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①45°；②．

【解析】

（1）連結(jié)AD，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，則由E是AC的中點得到ED=EA，所以∠EAD=∠EDA，而∠OAD=∠ODA，所以∠EAD+∠OAD=∠EDA+∠ODA，于是得到∠EDO=∠EAO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到DE為⊙O的切線；

（2）①先判斷出AE=OA，進而判斷出AB=AC，即可得出結(jié)論；

②由OA=2結(jié)合①結(jié)論用勾股定理可得BE=2，再由△AFB～△EAB計算BF長即可

（1）連結(jié)AD，如圖1，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴△ADC為直角三角形，

∵E是AC的中點，

∴ED=AC=EA，

∴∠EAD=∠EDA，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠EAD+∠OAD=∠EDA+∠ODA，

∴∠EDO=∠EAO=90°，

∴ED⊥OD，

∴DE為⊙O的切線；

（2）①當∠ABC=45°時，四邊形AODE是正方形，理由如下：

∵∠ABC=45°，∠BAC=90°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴AC=AB，

∵EC=EA，AO=BO，

∴AE=AO，

由（1）知，DE是⊙O的切線，

∵AB是⊙O的直徑，且∠BAC=90°，

∴AC是⊙O的切線，

∴AE=DE，

∴AE=DE=AO=DO，

∴四邊形AODE是菱形，

又∵∠EAO=90°，

∴菱形AODE是正方形，

故答案為：45°；

②如圖2，連接AF，

由①得四邊形AODE是正方形，

∵OA=2，

∴AE=2，AB=4，BE=，

∵AB是直徑，

∴AF⊥BE，

∴△AFB～△EAB，

∴，即：，

∴BF=．

故答案為：