Question

【題目】如圖，直線y=4－x與兩坐標軸分別相交于A、B點，點M是線段AB上任意一點(A、B兩點除外)，過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于點D。

(1)當點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長為________；

(2)當四邊形OCMD為正方形時，將正方形OCMD沿著x軸的正方向移動，設平移的距離為a (0<a≤4)，在平移過程中：

①當平移距離a=1時, 正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為________；

②當平移距離a是多少時，正方形OCMD的面積被直線AB分成l：3兩個部分?

Answer 1

【答案】（1）8；（2）①3.5；②a=或

【解析】試題分析：（1）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為-x+4（0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0）根據四邊形的周長計算方法計算即可發現，當點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長不發生變化，總是等于8．

（2）①當0＜a≤2時，S=4-a2=-a2+4,并且a=1可求出重疊部分的面積；

②當四邊形為OCMD為正方形時，先求得正方形的邊長，從而可求得正方形的面積，可求得正方形被直線分成的較小的部分的面積為1，然后再證明“較小的部分”為等腰直角三角形，從而可求得該等腰直角三角形的直角邊的長度，于是可求得平移的距離．

試題解析：（1）（1）設OC=x，則CM=4-x．

∵MC⊥OA，MD⊥OB，OD⊥OC，

∴四邊形OCMD為矩形，

∴四邊形OCMD的周長=OD+OC+CM+DM=2（CO+CM）=2（x+4-x）=2×4=8．

（2）①如圖（ 2 ），當0＜a≤2時，S=S四邊形O′CMD-S△MEF=4-a2=-a2+4，

②∵當四邊形為OCMD為正方形時，OC=CM，即x=4-x，解得：x=2，

∴S正方形OCMD的面積=4．

∵正方形OCMD的面積被直線AB分成1：3兩個部分，

∴兩部分的面積分別為1和3．

當0＜a≤2時，如圖1所示：

∵直線AB的解析式為y=4-x，

∴∠BAO=45°．

∴△MM′E為等腰直角三角形．

∴MM′=M′E．

∴MM′2=1．

∴MM′=，即a=

當2＜a＜4時，如圖2所示：

∵∠BAO=45°，

∴△EO′A為等腰直角三角形．

∴EO′=O′A．

∴O′A2=1，解得：O′A=．

∵將y=0代入y=4-x得；4-x=0，解得：x=4，

∴OA=4．

∴OO′=4-，即a=4-．

綜上所述，當平移的距離為a=或a=4時，正方形OCMD的面積被直線AB分成1：3兩個部分．