Question

【題目】在等腰△ABC中，

（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，D為線段BC中點，線段AD關于直線AB的對稱線段為線段AE，連接DE，則∠BDE的度數為___________；

（2）若△ABC為等邊三角形，點D為線段BC上一動點（不與B，C重合），連接AD并將線段AD繞點D逆時針旋轉60°得到線段DE，連接BE.

①根據題意在圖2中補全圖形；

②小玉通過觀察、驗證，提出猜測：在點D運動的過程中，恒有CD=BE.經過與同學們的充分討論，形成了幾種證明的思路：

思路1：要證明CD=BE，只需要連接AE，并證明△ADC≌△AEB；

思路2：要證明CD=BE，只需要過點D作DF∥AB，交AC于F，證明△ADF≌△DEB；

思路3：要證明CD=BE，只需要延長CB至點G，使得BG=CD，證明△ADC≌△DEG；

……

請參考以上思路，幫助小玉證明CD=BE.（只需要用一種方法證明即可）

（3）小玉的發現啟發了小明：如圖3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此時小明發現BE，BD，AC三者之間滿足一定的的數量關系，這個數量關系是______________________.（直接給出結論無須證明）

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）答案見解析；（3）k(BE+BD)=AC

【解析】試題解析：（1）由AD是等邊三角形ABC的BC邊上的中線得AD⊥BC，由AE與AD關于AB對稱，從而AB垂直平分DE，可得∠ADE＝60°，所以∠BDE=30°；

（2）①根據題意畫圖即可；

②如思路1，證明△EAB≌△DAC即可得出結論.

（3）k(BE+BD)=AC.

試題解析：（1）∵ΔABC是等邊三角形，D是BC邊的中點

∴∠BAD=30°

∵線段AD和AE關于直線AB對稱

∴DE⊥AB

∴∠ADE=60°

∴∠BDE=90°-60°=30°；

（2）作圖如下：

②如圖，連接AE.

（3）k(BE+BD)=AC.