Question

【題目】綜合題
（1）發現
如圖，點 為線段 外一動點，且 ， .

填空：當點 位于時，線段 的長取得最大值，且最大值為.（用含 ， 的式子表示）
（2）應用
點 為線段 外一動點，且 ， .如圖所示，分別以 ， 為邊，作等邊三角形 和等邊三角形 ，連接 ， .
①找出圖中與 相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段 長的最大值.

（3）拓展
如圖，在平面直角坐標系中，點 的坐標為 ，點 的坐標為 ，點 為線段 外一動點，且 ， ， ，求線段 長的最大值及此時點 的坐標.

Answer 1

【答案】
（1）CB的延長線上,a+b
（2）解：①DC=BE,理由如下：

∵△ABD和△ACE為等邊三角形，

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB,

∴△CAD≌△EAB.

∴DC=BE.

②BE的最大值是4.

（3）解：如圖3，

構造△BNP≌△MAP,則NB=AM,由（1）知，當點N在BA的延長線上時，NB有最大值（如備用圖）。

易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN= ，∴AM=NB=AB+AN=3+ ;過點P作PE⊥x軸于點E，PE=AE= ,又A（2，0）∴P（2- ， ）

【解析】（1）當點A在線段CB的延長線上時，可得線段AC的長取得最大值為a+b；

（1）根據點A位于CB的延長線上時，線段AC的長取得最大值，即可得到結論。
（2）①根據等邊三角形的性質得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據全等三角形的性質得到CD=BE；②由于線段BE長的最大值=線段CD的最大值，根據（1）中的結論即可得到結果。
（3）連接BM，將△APM繞著點P順時針旋轉90°得到△PBN，連接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根據全等三角形的性質得PN=PA=2，BN=AM，根據當N在線段BA的延長線時，線段BN取得最大值，即可得到最大值；如圖2，過P作PE⊥x軸于E，根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．