Question

【題目】如圖所示，正三角形ABC的邊長為3＋.

(1)如圖，正方形EFPN的頂點E，F在邊AB上，頂點N在邊AC上，在正三角形ABC及其內部，以點A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大(不要求寫作法)；

(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 36－18.

【解析】

（1）利用位似圖形的性質，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如圖所示；

（2）根據正三角形、正方形、直角三角形相關線段之間的關系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的邊長，即可求解.

（1）如圖，正方形E′F′P′N′即為所求.

（2）設正方形E′F′P′N′的邊長為x，

∵△ABC為正三角形，

∴AE′=BF′=x.

∵E′F′+AE′+BF′=AB，

∴x+x+x=3+，

∴x=，即x=3-3.

故（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長3-3,

則E′F′P′N′的面積為：(3-3)= 36－18.