Question

【題目】在△ABC中，CD⊥AB于點D，DA=DC=4，DB=2，AF⊥BC于點F，交DC于點E．

（1）求線段AE的長；

（2）若點G是AC的中點，點M是線段CD上一動點，連結GM，過點G作GN⊥GM交直線AB于點N，記△CGM的面積為S1，△AGN的面積為S2．在點M的運動過程中，試探究：S1與S2的數量關系

Answer 1

【答案】（1）；（2）S1+S2=4，見解析

【解析】

（1）先證明△ADE≌△CDB，得到DE=DB=2，在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AE．

（2）過點G作CD，DA的垂直線，垂足分別為P，Q，證明△MGP≌△NGQ，所以S1+S2=S△AGQ+S△CGP= S△ACD-S四邊形GQDP，即可求解．

（1）在△ABC中，CD⊥AB，AF⊥BC

∴∠ADC=∠AFB=90°

∵∠AED=∠CEF

∴∠EAD=∠BCD

在△ADE和△CDB中

∴△ADE≌△CDB

∴DE=DB=2

∴AE=

（2）在△ABC中，CD⊥AB，DA=DC=4，

點G是AC的中點

過點G作CD，DA的垂直線，垂足分別為P，Q．

則，GP=GQ=DA=2

∠PGQ=90°=∠GQN=∠GPM

∵GN⊥GM

∴∠MGN=90°

∴∠MGP=∠NGQ

∴△MGP≌△NGQ

S1+S2=S△AGQ+S△CGP= S△ACD-S四邊形GQDP=

故答案為：4