Question

【題目】（背景介紹）勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業余數學愛好者．向常春在1994年構造發現了一個新的證法．

（小試牛刀）把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a、b、c．顯然，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到勾股定理：

S梯形ABCD= ，

S△EBC= ，

S四邊形AECD= ，

則它們滿足的關系式為 ，經化簡，可得到勾股定理．

（知識運用）（1）如圖2，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、D為兩個村莊（看作兩個點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為 千米（直接填空）；

（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個供應站P，使得PC=PD，請用尺規作圖在圖2中作出P點的位置并求出AP的距離．

（知識遷移）借助上面的思考過程與幾何模型，求代數式最小值（0＜x＜16）

Answer 1

【答案】【小試牛刀】，，，a（a+b）=b（a-b）+c2．

【知識運用】（1）41；（2）作圖見解析；

【知識遷移】20.

【解析】

【小試牛刀】

根據三角形的面積和梯形的面積就可表示出．

【知識運用】

（1）連接CD，作CE⊥AD于點E，根據AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，從而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD兩地之間的距離．

（2）連接CD，作CD的垂直平分線角AB于P，P即為所求；設AP=x千米，則BP=（40-x）千米，分別在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通過PC=PD建立方程，解方程即可．

【知識遷移】

根據軸對稱-最短路線的求法即可求出．

[小試牛刀]

S梯形ABCD=

S△EBC=

S四邊形AECD=.

根據S梯形ABCD= S△EBC + S四邊形AECD，得a（a+b）=b（a-b）+c2．

故答案為：，，，a（a+b）=b（a-b）+c2．

[知識運用]（1）如圖2①，連接CD，作CE⊥AD于點E，

∵AD⊥AB，BC⊥AB，

∴BC=AE，CE=AB，

∴DE=AD-AE=25-16=9千米，

∴CD==41千米，

∴兩個村莊相距41千米．

故答案為41．

（2）如圖2②所示：

設AP=x千米，則BP=（40-x）千米，

在Rt△ADP中，DP2=AP2+AD2=x2+242，

在Rt△BPC中，CP2=BP2+BC2=（40-x）2+162，

∵PC=PD，

∴x2+242=（40-x）2+162，

解得x=16，

即AP=16千米．

[知識遷移]：如圖3，

代數式的最小值為：=20．