Question

【題目】如圖在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點，二次函數的圖象經過，兩點，且與軸的負半軸交于點，動點在直線下方的二次函數圖象上．

（1）求二次函數的表達式；

（2）如圖1，連接，，設的面積為，求的最大值；

（3）如圖2，過點作于點，是否存在點，使得中的某個角恰好等于的2倍？若存在，直接寫出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】1）；（2）S最大值為4；（3）存在，點D的橫坐標為2或

【解析】

（1）根據題意得到B、C兩點的坐標，設拋物線的解析式為，將點C的坐標代入求得m的值即可；

（2）過點D作DF⊥x軸，交BC與點F，設，則，然后列出S與x的關系式，最后利用配方法求得其最大值即可；

（3）根據勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點E，EA=EC=EB=，過D作Y軸的垂線，垂足為R，交AC的延線于G，設，則DR=x，，最后，分為∠DCM=2∠BAC和∠MDC=2∠BAC兩種情況列方程求解即可．

：（1）把x=0代入得y=-2，

∴C（0，-2）．

把y=0代得x=4，

∴B（4，0），

設拋物線的解析式為，將C（0，-2）代入得：2m=-2，解得：m=-1，∴A（-1，0）．

∴拋物線的解析式，即；

（2）如圖所示：過點D作DF⊥x軸，交BC與點F．

設，則，，

∴，

∴當x=2時，S有最大值，最大值為4．

（3）如圖所示：過點D作DR⊥y垂足為R，DR交BC與點G．

∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC為直角三角形．

取AB的中點E，連接CE，則CE=BE，

∴∠OEC=2∠ABC．

∴，

當∠MCD=2∠ABC時，則tan∠CDR=tan∠ABC= ，

設，則DR=x，，

∴，解得：x=0（舍去）或x=2．
∴點D的橫坐標為2．

當∠CDM=2∠ABC時，設MD=3k，CM=4k，CD=5k．

∵tan∠MGD= ，

∴GM=6k，，

∴GC=MG-CM=2k，

∴，

∴ ，

∴，整理得：，

解得：x=0（舍去）或x=．

∴點D的橫坐標為，

綜上所述，當點D的橫坐標為2或.