Question

【題目】已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數圖象上的點，當四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數圖象的伴侶正方形。如圖，正方形ABCD是一次函數y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形．

（1）若某函數是一次函數y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長；

（2）若某函數是反比例函數（k>0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m＜2）在反比例函數圖象上，求m的值及反比例函數解析式；

（3）若某函數是二次函數y=ax2+c（a≠0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個點坐標為（3，4）．寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標_____，寫出符合題意的其中一條拋物線解析式_____，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數是奇數還是偶數？_____．（本小題只需直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（﹣1，3）；（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1）,對應的拋物線分別為 ； ；,偶數.

【解析】

（1）設正方形ABCD的邊長為a，當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時，可知3a=，求出a，
（2）作DE、CF分別垂直于x、y軸，可知ADE≌△BAO≌△CBF，列出m的等式解出m，
（3）本問的拋物線解析式不止一個，求出其中一個．

解：（1）∵正方形ABCD是一次函數y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形．

當點A在x軸正半軸、點B在y軸負半軸上時，

∴AO=1，BO=1，

∴正方形ABCD的邊長為 ,

當點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時，

設正方形的邊長為a，得3a=,

∴ ，

所以伴侶正方形的邊長為或；

（2）作DE、CF分別垂直于x、y軸，

知△ADE≌△BAO≌△CBF，

此時，m＜2，DE=OA=BF=m

OB=CF=AE=2﹣m

∴OF=BF+OB=2

∴C點坐標為（2﹣m，2），

∴2m=2（2﹣m）

解得m=1，

反比例函數的解析式為y= ，

（3）根據題意畫出圖形，如圖所示：

過C作CF⊥x軸，垂足為F，過D作DE⊥CF，垂足為E，

∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，

∵C（3，4），即CF=4，OF=3，

∴EG=3，DE=4，故DG=DE﹣GE=DE﹣OF=4﹣3=1，

則D坐標為（﹣1，3）；

設過D與C的拋物線的解析式為：y=ax2+b，

把D和C的坐標代入得： ，

解得 ，

∴滿足題意的拋物線的解析式為y=x2+ ；

同理可得D的坐標可以為：（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1），；

對應的拋物線分別為 ； ；，

所求的任何拋物線的伴侶正方形個數為偶數.