Question

【題目】（1）若正整數、，滿足，求、的值；

（2）已知如圖，在中，，，點在邊上移動（不與點，點重合），將沿著直線翻折，點落在射線上點處，當為一個含內角的直角三角形時，試求的長度．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或．

【解析】

（1）根據平方差公式因式分解，根據題意可得或；

（2）根據翻折性質可證∠AEF=180°∠BEF =90°，分兩種情況：①如圖a，當∠EAF=30°時，設BD=x，根據勾股定理，即；②如圖b，當∠AFE=30°時，設BD=x，根據勾股定理，，；

（1）解：∵>0，且x，y均為正整數，

∴與均為正整數，且>，與奇偶性相同．

又∵

∴或

解得：或．

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠B=∠BAC=45°

又∵將△BDE沿著直線DE翻折，點B落在射線BC上點F處

∴∠BDE=∠EDF=90°，且△BDE≌△FDE

∴∠BED=∠DEF=45°，∠BEF=90°，BE=EF

∴∠AEF=180°∠BEF =90°

①如圖a，當∠EAF=30°時，設BD=x，則：

BD=DF=DE=x，，，

∵∠EAF=30°，∴AF=，

在Rt△AEF中，，

∴，解得．

∴．

②如圖b，當∠AFE=30°時，設BD=x，則：

同理①可得：，

∵∠AFE =30°，∴AF=

在Rt△AEF中，，

∴，解得．

∴．

綜上所述，或．