Question

【題目】如圖，正方形的邊，在坐標軸上，點的坐標為，點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿軸向點運動；點從點同時出發(fā)，以相同的速度沿軸的正方向運動，規(guī)定點到達點時，點停止運動，點也停止運動.連接，過點作的垂線，與過點平行于軸的直線相交于點D，與軸交于點，連接，設點運動的時間為.

（1）求的度數(shù)及點的坐標（用表示）.

（2）當為何值時，為等腰三角形？

（3）探索周長是否隨時間的變化而變化.若變化，說明理由；若不變，試求出這個定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）當為4秒或秒時，為等腰三角形（3）周長是定值，該定值為8

【解析】

（1）易證△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PBD的度數(shù)和點D的坐標．

（2）由于∠EBP=45°，故圖1是以正方形為背景的一個基本圖形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底邊不定，故分三種情況討論，借助于三角形全等及勾股定理進行求解，然后結合條件進行取舍，最終確定符合要求的t值．

（3）由（2）已證的結論EP=AP+CE很容易得到△POE周長等于AO+CO=8，從而解決問題．

（1）

如圖①.由題可得，.

四邊形是正方形，

，

.

，.

.

，，.

在和中，

.，.

，，.

，.點坐標為.

（2）①若，則..

，.

點與點重合.

點與點重合.與條件“軸”矛盾，

這種情況應舍去.

②若，則..

.

在和中，

≌.，..

點與點重合（）.點與點重合（）.

點，.此時.

③若，

在和中，

.

.，..

，.

延長到點，使得，連接，如圖②所示.

在和中，

.，.

，，.

..

在和中，

.

..

.

，解得，

當為4秒或秒時，為等腰三角形.

（3），

.

周長是定值，該定值為8.