Question

【題目】如圖，已知拋物線（為常數，且）與軸從左至右依次交于A，B兩點，與軸交于點C，經過點B的直線與拋物線的另一交點為D，點D的橫坐標為-4．

（1）求直線的函數解析式；

（2）求拋物線的函數解析式；

（3）分別求出tan∠ABC和tan∠BAC的值；

（4）在第一象限的拋物線上是否存在點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）tan∠ABC=，tan∠BAC=；（4）在第一象限的拋物線上存在點P（6，），使得△PAB∽△ABC．

【解析】

（1）根據二次函數交點式可以求出，的值，從而確定出A、B的坐標，將B點坐標代入一次函數解析式，求出b的值即可解決.

（2）D點在一次函數的圖像上，且知道D點的橫坐標，故可以將D點的橫坐標代入一次函數解析式，求出D點的坐標，然后將D點的坐標代入二次函數解析式即可求k的值，依次解決.

（3）由圖可知，∠ABC和∠BAC分別在Rt△AOC和Rt△BOC中，C為拋物線與y軸的交點，求出C點坐標，分別求兩角的正切值即可.

（4）連接PA，過點P作PH垂直軸于H，根據二次函數解析式，設出P點的坐標，分別表示出PH和AH，分兩種情況進行討論，分別是△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC，根據三角形相似的性質，列出比例式分別計算求解，然后進行判斷即可.

解：（1）由解得-2，4，

∴A（-2，0），B（4，0），且B點在直線上，

∴，解得，

∴直線BD的函數解析式為．

（2）點D在直線BD上，橫坐標為-4，故有

，

∴D（-4，），且點D在拋物線上，故有

，

解得，

∴拋物線的函數解析式為．

化成一般式為：

（3）由（1）知A（-2，0），B（4，0），所以OA=2，OB=4，

C點是拋物線與軸的交點，

將代入（2）中拋物線的解析式求得，

∴C（0，），

∴OC=．

在Rt△AOC，Rt△BOC中，有tan∠ABC=，

tan∠BAC=．

（4）如圖，連接PA，過點P作PH垂直軸于H，

設P（，），且，

則PH=，AH=+2，分兩種情況：

①若△PAB∽△ABC，

則∠PAB=∠ABC，同時成立．

由tan∠PAB=tan∠ABC得：，

即，

解得．

∴P（6，），AH=8，

∴，

，

由A、B的橫坐標求得BA=6，

，，

∴成立．

②若△PAB∽△BAC，

則∠PAB=∠BAC，同時成立．

由tan∠PAB=tan∠BAC得：

，

即，

解得，

∴P（8，），AH=10，

∴，

AC=，

，，

∴．

綜上，在第一象限的拋物線上存在點P（6，），使得△PAB∽△ABC．