Question

【題目】如圖，等腰Rt△ABD中，AB＝AD，點M 為邊AD上一動點，點E在DA的延長線上，且AM＝AE，以BE為直角邊，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，連NE、DN．

（1）求證：∠BEN＝∠BGN．

（2）求的值．

（3）當M在AD上運動時，探究四邊形BDNG的形狀，并證明之．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）四邊形BDNG是平行四邊形，證明詳見解析.

【解析】

（1）連接BM，推出BE＝BM，∠EBA＝∠MBA，根據SAS證△BMN≌△BEN，推出∠BMN＝∠BEN，證出∠BMN＝∠BGN即可；

（2）過G作GH⊥AB，垂足為H，證△BGH≌△ABE，推出BH＝AE＝AN，求出NG＝GH＝AB，代入求出即可；

（3）根據ADN≌△BAE，推出BG⊥BE，BG＝BE，得出BG∥DN，BG＝DN，根據平行四邊形的判定判斷即可．

（1）證明：連BM，

∵∠BAD＝90°，

∴BA⊥EM，

∵AE＝AM，

∴BE＝BM，∠EBA＝∠MBA，

在△BEN和△BMN中

，

∴△BMN≌△BEN，

∴∠BMN＝∠BEN，

∵BE＝BG＝BM，

∴∠BMN＝∠BGN，

∴∠BEN＝∠BGN．

（2）解：由（1）得，∠GBE＝∠GNE＝90°，

∴△NME等腰直角三角形，

∴AE＝AN，

過G作GH⊥AB，垂足為H，

∴∠H＝∠BAE＝∠GBE＝90°，

∴∠HGB+∠HBG＝90°，∠HBG+∠ABE＝90°，

∴∠HGB＝∠EBA，

在△BGH和△ABE中

，

∴△BGH≌△ABE，

∴BH＝AE＝AN，

HN＝AB＝GH，NG＝GH＝AB，

∴．

（3）解：四邊形BDNG是平行四邊形，

理由是：∵∠DAN＝∠BAE＝90°，AN＝AE，AB＝AD，

∴△ADN≌△BAE，

∴DN⊥BE，DN＝BE＝BG，

又∵BG⊥BE，BG＝BE，

∴BG∥DN，BG＝DN

∴四邊形BDNG為平行四邊形．