Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋bx＋c開口向上，與x軸交于點A、B，與y軸交于點C

(1) 如圖1，若A (1，0)、C (0，3)且對稱軸為直線x＝2，求拋物線的解析式

(2) 在(1)的條件下，如圖2，作點C關于拋物線對稱軸的對稱點D，連接AD、BD，在拋物線上是否存在點P，使∠PAD＝∠ADB，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由

(3) 若直線l：y＝mx＋n與拋物線有兩個交點M、N（M在N的左邊），Q為拋物線上一點（不與M、N重合），過點Q作QH平行于y軸交直線l于點H，求的值

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）點P的橫坐標的值為或6；（3）1.

【解析】

（1）把A、C點代入y=ax2+bx+c 得到a、b的方程，加上對稱軸方程得到關于a、b的方程組，然后解方程組即可得到拋物線解析式；

（2）當P點與B點在AD的同側，作DE⊥x軸于E，EF⊥AD于F，交拋物線于點P，如圖1，先確定C（0，3），利用對稱性確定D（4，3），再判斷△ADE為等腰直角三角形，則EF垂直平分AD，此時∠PAD=∠ADB，接著利用待定系數法求出直線EF的解析式為y=-x+4，然后解方程x2-4x+3=-x+4即可得到點P的橫坐標的值；當P點與B點在AD的兩側，易得直線BD的解析式為y=3x-9，設過點A與BD平行的直線交拋物線于P點，利用平行問題求出線AP的解析式為y=3x-3，然后解方程x2-4x+3=3x-3得此時點P的橫坐標；

（3）設Q（t，t2-4t+3），則H（t，m），設M、N的橫坐標分別為x1，x2，利用拋物線與一次函數的交點問題判斷x1，x2為方程x2-4x+3=m的兩根，則根據根與系數的關系得x1+x2=4，x1x2=3-m，由于HM=t-x1，NH=x2-t，則HMNH=-t2+4t-3+m，利用HQ=-t2+4t-3+m，于是可得的值．

（1）根據題意得：

，解得，

∴拋物線的解析式為：y=x2-4x+3；

（2）存在．當P點與B點在AD的同側，

作DE⊥x軸于E，EF⊥AD于F，交拋物線于點P，如圖1，

∵點D與點C關于直線x=2對稱，

∴D（4，3），

∴E（4，0），

∵EA=ED=3，

∴△ADE為等腰直角三角形，

∴EF垂直平分AD，

∴PA=PD，

∴∠PAD=∠ADB，

∵F點為AD的中點，

∴F（，），

設直線EF的解析式為y=px+q，

把E（4，0），F（，）代入得，解得，

∴直線EF的解析式為y=-x+4，

解方程x2-4x+3=-x+4得x1=，x2=，

此時點P的橫坐標的值為；

當P點與B點在AD的兩側，

易得直線BD的解析式為y=3x-9，

設過點A與BD平行的直線交拋物線于P點，

直線AP的解析式為y=3x-3，

解方程x2-4x+3=3x-3得x1=1，x2=6，

此時點P的橫坐標的值為6；

綜上所述，點P的橫坐標的值為或6；

（3）設Q（t，t2-4t+3），則H（t，m），

設M、N的橫坐標分別為x1，x2，則x1，x2為方程x2-4x+3=m的兩根，

∴x1+x2=4，x1x2=3-m，

∴HM=t-x1，NH=x2-t，

∴HMNH=（t-x1）（x2-t）=-t2+（x1+x2）t-x1x2=-t2+4t-3+m，

∵HQ=m-（t2-4t+3）=-t2+4t-3+m，

∴HMNH=HG，

∴的值為1．