Question

【題目】如圖示，若△ABC內一點P滿足∠PAC=∠PBA=∠PCB，則點P為△ABC的布洛卡點．三角形的布洛卡點是法國數學家和教育家克洛爾于1816年首次發現，但他的發現并未被當時的人們所注意，1875年，布洛卡點被一個數學愛好者法國軍官布洛卡重新發現，并用他的名字命名．問題：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若點Q為△DEF的布洛卡點，DQ=1，則EQ+FQ=。

Answer 1

【答案】
【解析】解 ：如圖,在等腰直角三角形△DEF中,∠EDF=90，DE=DF，∠1=∠2=∠3，

∴∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45，
∴∠QEF=∠DFQ；sin45°=DF∶EF=1∶
又∵∠2=∠3，
∴△DQF∽△FQE，
∴DQ∶FQ=FQ∶QE=DF∶EF=1∶，
∵DQ=1，
∴FQ=，EQ=2，
∴EQ+FQ=2+，
由等腰直角三角形的性質得出∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45，進而得出∠QEF=∠DFQ；sin45°=DF∶EF=1∶，然后判斷出△DQF∽△FQE，根據相似三角形對應邊成比例得出DQ∶FQ=FQ∶QE=DF∶EF=1∶，進而求出FQ=，EQ=2，從而得出答案。