Question

【題目】已知AB是⊙O的直徑，C、E是⊙O上的點， CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分別為D、F，過點E作 EG⊥0C，垂足為G，延長EG交OA于H。

求證：
（1）HO·HF=HG·HE；
（2）FG=CD

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：∵ EG⊥0C， EF⊥AB
∴ ∠HGO=∠HFE=90°
又 ∵ ∠GHO=∠FHE
∴△HGO∽△HFE
∴
即HO·HF=HG·HE 。
（2）解：過點G作 GM⊥0H，垂足為M，連結OE
∵ ，∠EHO=∠FHG
∴ △HGF∽△HOE
∴ ∠HFG=∠HEO
∵ GM⊥0H，EG⊥0C
∴∠GMF=∠OGE=90°
∴ Rt△FGM∽Rt△EOG
∴
又 GM∥CD
∴ 即
∴ 由OE=OC，得GF=CD 。
【解析】(1）根據垂直的定義得出 ∠HGO=∠HFE=90°，又 ∠GHO=∠FHE ，從而判斷出 △HGO∽△HFE ，根據相似三角形對應邊成比例得出根據比例的性質得出 HO·HF=HG·HE；
（2）過點G作 GM⊥0H，垂足為M，連結OE ，根據及∠EHO=∠FHG由兩邊對應成比例，及夾角相等的兩個三角形相似得出△HGF∽△HOE，由相似三角形對應角相等得出 ∠HFG=∠HEO ，根據垂直的定義得出∠GMF=∠OGE=90°，進而得出 Rt△FGM∽Rt△EOG；由相似三角形對應邊成比例得出,根據平行線分線段成比例定理得出,即,進而得出,根據OE=OC，得GF=CD。