Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（4，6）．雙曲線y= （x＞0）的圖象經過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE．

（1）求k的值及點E的坐標；
（2）若點F是邊上一點，且△BCF∽△EBD，求直線FB的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在矩形OABC中，

∵B（4，6），

∴BC邊中點D的坐標為（2，6），

∵又曲線y= 的圖象經過點（2，6），

∴k=12，

∵E點在AB上，

∴E點的橫坐標為4，

∵y= 經過點E，

∴E點縱坐標為3，

∴E點坐標為（4，3）

（2）

解：由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，

∵△FBC∽△DEB，

∴ = ，即 = ，

∴CF= ，

∴OF= ，即點F的坐標為（0， ），

設直線FB的解析式為y=kx+b，而直線FB經過B（4，6），F（0， ），

∴ ，解得 ，

∴直線BF的解析式為y= x+

【解析】（1）由條件可先求得點D的坐標，代入反比例函數可求得k的值，又由點E的位置可求得E點的橫坐標，代入可求得E點坐標；（2）由相似三角形的性質可求得CF的長，可求得OF，則可求得F點的坐標，利用待定系數法可求得直線FB的解析式．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數的圖象和反比例函數的性質的相關知識點，需要掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．