Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是對角線BD上一點，DE＝4BE，連接CE，過點E作EF⊥CE交AB的延長線于點F，若AF＝8，則正方形ABCD的邊長為_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

由∠EHC＝∠BHF，∠CEH＝∠FBH＝90°可判定△ECH∽△BFH，從而得到∠ECH＝∠BFH；作輔助線可證明四邊形ENBM是正方形，根據正方形的性質得EM＝EN，由角角邊可證明△EMC≌△ENF，得CM＝FN；因DE＝4BE，△BEM∽△BDC，△BEN∽△BDA和線段的和差可求出正方形ABCD的邊長．

解：如圖所示：

過點E作EM⊥BC，EN⊥AB，分別交BC、AB于M、N兩點，

且EF與BC相交于點H．

∵EF⊥CE，∠ABC＝90°，∠ABC+∠HBF＝180°，

∴∠CEH＝∠FBH＝90°，

又∵∠EHC＝∠BHF，

∴△ECH∽△BFH（AA），

∴∠ECH＝∠BFH，

∵EM⊥BC，EN⊥AB，四邊形ABCD是正方形，

∴四邊形ENBM是正方形，

∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENF＝90°，

在△EMC和△ENF中

,

∴△EMC≌△ENF（AAS）

∴CM＝FN，

∵EM∥DC，∴△BEM∽△BDC，

∴．

又∵DE＝4BE，

∴，

同理可得：，

設BN＝a，則AB＝5a，CM＝AN＝NF＝4a，

∵AF＝8，AF＝AN+FN，

∴8a＝8

解得：a＝1，

∴AB＝5

故答案為：5