Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，將△ABC繞點C順時針旋轉一定的角度得到△DEC，點A、B的對應點分別是D、E．

（1）當點E恰好在AC上時，如圖1，求∠ADE的大小；

（2）若=60°時，點F是邊AC中點，如圖2，求證：DF=BE

Answer 1

【答案】（1）15° （2）證明見解析

【解析】

（1）利用旋轉性質得到CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，再利用等腰三角形的性質和三角形內角和計算出∠CAD，之后再算出∠ADE

（2）利用直角三角形斜邊上的中線性質得到BF=,則BF=AB,再根據旋轉的性質得到∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE,DE=AB,從而得到DE=BF,接下來證明與全等得到DF=BC，然后得出DF=BE

解：如圖1，∵繞點C順時針旋轉得到，點E恰好在AC上，

∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°

∵CA=CD

∴∠CAD=∠CDA=75°

∴∠ADE =90°－75°=15°

證明：連接AD，如圖2，

∵點F是邊AC中點，

∴BF= AC

∵∠ACB=20°

∴AB=

∴BF=AB

∵繞點C順時針旋轉60°得到

∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，，，

∴DE=BF，和為等邊三角形，

∴BE=CB，

∵點F為的邊AC的中點，

∴DF⊥AC，

易證得，

∴DF=BC，

∴DF=BE，