Question

【題目】拋物線y＝﹣x2與直線y＝kx﹣2k+3交于A，B兩點，若∠AOB＝90°，求k的值．

Answer 1

【答案】

【解析】

將y＝kx﹣2k+3代入y＝x2，得x2﹣kx+2k﹣3＝0，根據二次函數圖象上點的坐標特征以及根與系數的關系得出y1＝x12，y2＝x22，x1x2＝4k﹣6，那么y1y2＝k2﹣3k+，當∠AOB＝90°時，過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N，證明△AOM∽△OBN，根據相似三角形對應邊成比例得出y1y2＝﹣x1x2，依此列出關于k的方程，求出k的值即可．

解：將y＝kx﹣2k+3代入y＝x2，得x2﹣kx+2k﹣3＝0，

設拋物線y＝﹣x2與直線y＝kx﹣2k+3交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，

∴y1＝x12，y2＝x22，x1x2＝4k﹣6，

∴y1y2＝（x12）（x22）＝（x1x2）2＝（4k﹣6）2＝4k2﹣6k+9

當∠AOB＝90°時，如圖：

，

過點A作AM⊥x軸于點M，過點B作BN⊥x軸于點N．

在△AOM與△OBN中，

，

∴△AOM∽△OBN，

∴，即，

∴y1y2＝﹣x1x2，

∴4k2﹣6k+9＝﹣4k+6，

∵k＞0，

∴k＝，