Question

【題目】如圖，點將線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點．

某研究小組在進行課題學習時，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．（如圖）

問題．試在圖的梯形中畫出至少五條黃金分割線，并說明理由．

類似“黃金分割線”得“黃金分割面”定義：截面將一個體積為的圖形分成體積為V1

、的兩個圖形，且，則稱直線為該圖形的黃金分割面．

問題：如圖，長方體中，是線段上的黃金分割點，證明經過點且平行于平面的截面是長方體的黃金分割面．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）如圖，先在梯形的中位線EF上找一個黃金分割點G，過點G作一條直線L交AD于點M，交BC于N，則MN就是梯形的黃金分割線．
（2）根據AT：AB=TB：AT，進而推出S矩形QRST=S矩形BCGF因為AT×S矩形QRST：AB×S矩形BCGF=TB×S矩形ADHE：AT×S矩形QRST從而不難求得截面QRST是長方體的黃金分割面．

解：如圖，先在梯形的中位線上找一個黃金分割點，過點作一條直線交于點，交于，則就是梯形的黃金分割線．

∵，

∴，

∵，，（是梯形的高），

∴，

∵直線是過的任意一條與，都相交的直線，

∴符合題意的黃金分割線有無窮多條．

∵，

∴，

∵，

即截面將體積為的長方體，分成左右兩塊體積分別是，，

∴，

∴截面是長方體的黃金分割面．