Question

【題目】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂直四邊形．

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂直四邊形嗎？請說明理由；

（2）如圖2，四邊形ABCD是垂直四邊形，求證：AD2+BC2＝AB2+CD2；

（3）如圖3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC、AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC＝4，BC＝3，求GE長．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABCD是垂直四邊形；理由見解析；（2）見解析；（3）GE＝

【解析】

（1）由AB＝AD，得出點A在線段BD的垂直平分線上，由CB＝CD，得出點C在線段BD的垂直平分線上，則直線AC是線段BD的垂直平分線，即可得出結果；

（2）設AC、BD交于點E，由AC⊥BD，得出∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，即可得出結論；

（3）連接CG、BE，由正方形的性質得出AG＝AC，AB＝AE，，，∠CAG＝∠BAE＝90°，易求∠GAB＝∠CAE，由SAS證得△GAB≌△CAE，得出∠ABG＝∠AEC，推出∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，得出四邊形CGEB是垂直四邊形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，，，代入計算即可得出結果．

（1）解：四邊形ABCD是垂直四邊形；理由如下：

∵AB＝AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB＝CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂直四邊形；

（2）證明：設AC、BD交于點E，如圖2所示：

∵AC⊥BD，

∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，

由勾股定理得：AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2；

（3）解：連接CG、BE，如圖3所示：

∵正方形ACFG和正方形ABDE，

∴AG＝AC，AB＝AE，，，∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，

又∵∠AEC+∠CEB+∠ABE＝90°，

∴∠ABG+∠CEB+∠ABE＝90°，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂直四邊形，由（2）得，CG2+BE2＝BC2+GE2，

∵AC＝4，BC＝3，

∴，，

∴，

∴GE＝．