Question

【題目】在中，D是邊BC上一點，以點A為圓心，AD長為半徑作弧，如果與邊BC有交點E（不與點D重合），那么稱為的A-外截弧.例如，圖中是的一條A-外截弧.在平面直角坐標系xOy中，已知存在A-外截弧，其中點A的坐標為，點B與坐標原點O重合.

（1）在點，，，中，滿足條件的點C是_______.

（2）若點C在直線上.

①求點C的縱坐標的取值范圍.

②直接寫出的A-外截弧所在圓的半徑r的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）C2、C3；（2）-2<y<或y>2；（3）<r<5或<r<5.

【解析】

（1）如圖，根據BC1⊥AB可得△ABC1沒有A-外截弧，作AF⊥BC2于F，由AC2<AB可得當AF<AD2<AC2時，△ABC2有A-外截弧；作AG⊥BC3于G，根據點C3坐標，可求出AC3的長，可得AC3<AB，即可得出AG<AD1<AC3時，△ABC3有A-外截弧；根據A、B、C4坐標可求出BC4、AC4的長，根據勾股定理逆定理可得△ABC4是直角三角形，且AC4⊥BC4，可得△ABC4沒有A-外截弧，綜上即可得答案；

（2）①根據△ABC有A-外截弧可得∠ABC<90°，可得x>0，設點C坐標為（m，m-2），利用直角三角形斜邊中線的性質可求出∠ACB=90°時點C的坐標，根據∠ACB<90°時，△ABC有A-外截弧可得m的取值范圍，代入y=x-2，即可得點C縱坐標的取值范圍；

②求出∠ACB=90°時AC的長，進而可得答案.

（1）如圖，∵BC1⊥AB，

∴△ABC1沒有A-外截弧，

作AF⊥BC2于F，

∵A（5，0），B（0，0），C2（5，-3），

∴∠BAC2=90°，AC2=3，AB=5，

∴AC2<AB，

∴AF<AD2<AC2時，△ABC2有A-外截弧，滿足條件，

作AG⊥BC3于G，

∵C3（6，4），

∴AC3=<AB，

∴AG<AD1<時，△ABC3有A-外截弧，滿足條件，

∵C4（4，2），

∴BC4=，AC4=，AB=5，

∵()2+()2=52，

∴△ABC4是直角三角形，∠AC4B=90°，

∴△ABC4沒有A-外截弧，

綜上所述：滿足條件的點C是C2、C3.

故答案為：C2、C3

（2）①∵點C在直線y=x-2上，

∴設點C的坐標為（m，m-2），

∵△ABC有A-外截弧，

∴∠ABC<90°，

∴m>0，

當∠ACB=90°時，

∵A（5，0），B（0，0），

∴斜邊AB的中點H的坐標為（2.5，0），

∴(m-2.5)2+(m-2)2=(2.5)2，

解得：m1=，m2=4，

∴∠ACB=90°時，點C坐標為（，）或（4，2），

∵直線解析式為y=x-2，

∴x=0時，y=-2，

∴與y軸交點為（0，-2），

∵△ABC有A-外截弧時，∠ACB<90°，

∴點C的縱坐標的取值范圍為-2<y<或y>2.

②由①得x=或x=4時，∠ACB=90°，

∴C1（，），C2（4，2），

∴AC1=，AC2=，

∴的A-外截弧所在圓的半徑r的取值范圍為：<r<5或<r<5.