Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)動(dòng)直線(xiàn)的解析式為．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）將拋物線(xiàn)向上平移一個(gè)單位得到新的拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)(點(diǎn)位于點(diǎn)的左邊)，動(dòng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，與拋物線(xiàn)的另外一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)求證：直線(xiàn)恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；

（3）已知點(diǎn)，且點(diǎn)在動(dòng)直線(xiàn)上，若是以為頂角的等腰三角形，這樣的等腰三角形有且只存在一個(gè)，請(qǐng)求出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）或．

【解析】

（1）先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)其解析式的頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)代入求解即可；

（2）先根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移得到拋物線(xiàn)的解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，分別求出直線(xiàn)MN、動(dòng)直線(xiàn)的解析式，然后分別聯(lián)立兩個(gè)一次函數(shù)與拋物線(xiàn)的解析式，求出點(diǎn)P、N的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)PN的解析式，由此即可得證；

（3）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，先根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式求出AB、BC的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形的定義得出，從而可得一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，然后利用根的判別式求解即可．

（1）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式的頂點(diǎn)式為

將點(diǎn)代入得：，解得

故拋物線(xiàn)的解析式為；

（2）由題意得：拋物線(xiàn)的解析式為，即

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為

將點(diǎn)，代入得，解得

則直線(xiàn)MN的解析式為

聯(lián)立

設(shè)點(diǎn)

則是關(guān)于x的一元二次方程的兩根

由根與系數(shù)的關(guān)系得

解得

將代入拋物線(xiàn)的解析式得：

即

將點(diǎn)代入得，解得

則動(dòng)直線(xiàn)的解析式為

聯(lián)立

設(shè)點(diǎn)

則是關(guān)于x的一元二次方程的兩根

由根與系數(shù)的關(guān)系得

解得

將代入拋物線(xiàn)的解析式得：

即

設(shè)直線(xiàn)PN的解析式為

將代入得：

將代入得：

解得

則直線(xiàn)PN的解析式為

由此可知，當(dāng)時(shí)，

即無(wú)論m取何值，直線(xiàn)PN恒過(guò)定點(diǎn)；

（3）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為

，

若是以為頂角的等腰三角形，則，從而有

即

整理得

因?yàn)檫@樣的等腰三角形有且只存在一個(gè)

所以關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

則此方程的根的判別式

解得或．