Question

【題目】如圖，在一張矩形紙片中，，，點，分別在， 上，將紙片沿直線折疊，點落在上的一點處，點落在點處，有以下四個結論：

①四邊形是菱形；②平分；③線段的取值范圍為；④當點與點重合時，．

以上結論中，你認為正確的有（　　）個．

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據翻折的性質可得CF=FH，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；

②根據菱形的對角線平分一組對角線可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，判斷出②錯誤；

③點H與點A重合時，設BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點G與點D重合時，CF=CD，求出最大值BF=4，然后寫出BF的取值范圍，判斷出③正確；

④過點F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．

解：

①∵FH與CG，EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，

∴FH∥CG，EH∥CF，

∴四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質得，CF=FH，

∴四邊形CFHE是菱形，（故①正確）；

②∴∠BCH=∠ECH，

∴只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，（故②錯誤）；

③點H與點A重合時，此時BF最小，設BF=x，則AF=FC=8-x，

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，

即42+x2=（8-x）2，

解得x=3，

點G與點D重合時，此時BF最大，CF=CD=4，

∴BF=4，

∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，（故③正確）；

過點F作FM⊥AD于M，

則ME=（8-3）-3=2，

由勾股定理得，

EF===，（故④正確）；

綜上所述，結論正確的有①③④共3個，

故選C．