Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，連接BD，點E為CB邊的延長線上一點，點F是線段AE的中點，過點F作AE的垂線交BD于點M,連接ME、MC.

（1）根據題意補全圖形，猜想與的數量關系并證明；

（2）連接FB，判斷FB 、FM之間的數量關系并證明.

Answer 1

【答案】（1）=（2）

【解析】

（1）①按照題中要求補全圖形即可；②如圖1，連接AM，由已知條件易得MF是AE的垂直平分線，由此可得MA=ME，由四邊形ABCD是正方形易得點A和點C關于BD對稱，由此可得MA=MC，從而可得ME=MC，進而可得∠MEC=∠MCE；

（2）如圖2，由已知易得∠MAD=∠MCD結合∠MEC=∠MCE可得∠MAD+∠MEC=∠MCD+∠MCE=90°，由AD∥CB可得∠MAD+∠MEC+∠MAE+∠MEA=180°，由此可得∠MAE+∠MEA=90°，從而可得∠AME=90°，結合點F是AE的中點可得MF=AE，結合在Rt△ABE中，BF=AE即可得到BF=MF.

（1）①按題要求補全圖形如下圖所示：

②∠MEC=∠MCE，理由如下：

如圖1，連接AM，

∵點F是AE的中點，FM⊥AE，

∴MA=ME，

∵點A、點C是關于正方形ABCD對角線BD所在直線的對稱點，

∴MA=MC，

∴ME=MC，

∴∠MEC=∠MCE；

（2）如圖2，FB=FM，理由如下：

∵點M在正方形ABCD的對角線BD，

∴，

∴=，

∵=，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴，

∴，

∵ 點F是AE的中點，

∴

∵ 在△ABE中，∠ABE=90°，點F是AE的中點，

∴ ，

∴ .