Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2ax+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊）AB=4，與y軸交于點C，OC=OA，點D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M（m，0）為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N，可得矩形PQNM，如圖1，點P在點Q左邊，當矩形PQNM的周長最大時，求m的值，并求出此時的△AEM的面積；

（3）已知H（0，﹣1），點G在拋物線上，連HG，直線HG⊥CF，垂足為F，若BF=BC，求點G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3； （2）m=﹣2, ；

（3）點G的坐標為（， ）或（， ）．

【解析】試題分析：（1）根據拋物線y=ax2+2ax+c，可得C（0，c），對稱軸為x﹣1，再根據OC=OA，AB=4，可得A（﹣3，0），最后代入拋物線y=ax2+2ax+3，得拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；

（2）根據點M（m，0），可得矩形PQNM中，P（m，﹣m2﹣2m+3），Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），再根據矩形PQNM的周長=2（PM+PQ）=﹣2（m+2）2+10，可得當m=﹣2時，矩形PQNM的周長有最大值10，M的坐標為（﹣2，0），最后由直線AC為y=x+3，AM=1，求得E（﹣2，1），ME=1，據此求得△AEM的面積；

（3）連接CB并延長，交直線HG與Q，根據已知條件證明BC=BF=BQ，再根據C（0，3），B（1，0），得出Q（2，﹣3），根據H（0，﹣1），求得QH的解析式為y=﹣x﹣1，最后解方程組，可得點G的坐標．

試題解析：（1）由拋物線y=ax2+2ax+c，可得C（0，c），對稱軸為x=﹣=﹣1，

∵OC=OA，

∴A（﹣c，0），B（﹣2+c，0），

∵AB=4，

∴﹣2+c﹣（﹣c）=4，

∴c=3，

∴A（﹣3，0），

代入拋物線y=ax2+2ax+3，得

0=9a﹣6a+3，

解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；

（2）如圖1，

∵M（m，0），PM⊥x軸，

∴P（m，﹣m2﹣2m+3），

又∵對稱軸為x=﹣1，PQ∥AB，

∴Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），

又∵QN⊥x軸，

∴矩形PQNM的周長

=2（PM+PQ）

=2[（﹣m2﹣2m+3）+（﹣2﹣m﹣m）]

=2（﹣m2﹣4m+1）

=﹣2（m+2）2+10，

∴當m=﹣2時，矩形PQNM的周長有最大值10，

此時，M（﹣2，0），

由A（﹣3，0），C（0，3），可得

直線AC為y=x+3，AM=1，

∴當x=﹣2時，y=1，即E（﹣2，1），ME=1，

∴△AEM的面積=×AM×ME=×1×1=；

（3）如圖2，連接CB并延長，交直線HG與Q，

∵HG⊥CF，BC=BF，

∴∠BFC+∠BFQ=∠BCF+∠Q=90°，∠BFC=∠BCF，

∴∠BFQ=∠Q，

∴BC=BF=BQ，

又∵C（0，3），B（1，0），

∴Q（2，﹣3），

又∵H（0，﹣1），

∴QH的解析式為y=﹣x﹣1，

解方程組，可得或，

∴點G的坐標為（， ）或（， ）．